Xét dòng chảy xuôi theo trục của ống của một chất lỏng không bị nén và là dòng dừng có độ nhớt η {\displaystyle \eta } trong ống hình trụ có tiết diện ngang tròn và có chết độ dòng chảy tầng. Giả sử 2 đầu ống hình trụ (có độ dài l) được giữ bởi áp suất p1, p2, bán kính hình trụ là R, ta xét tiết diện ngang của ống:

Sử dụng hệ tọa độ cực, xét lớp nước chứa trong hình xuyến trụ có bán kính trong là r, bán kính ngoài là r+dr với độ dài là l, lực ma sát nhớt động học tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt trong hình xuyến trụ, theo công thức Newton:

F 1 = − η d v d r 2 π r l {\displaystyle F1=-\eta {dv \over dr}2\pi rl} (1)

Lực ma sát tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt ngoài hình xuyến trụ:

Khi đó,

F 2 = − F 1 + d F 1 = η d v d r 2 π r l + η 2 π l d ( r d v d r ) {\displaystyle F2=-F1+dF1=\eta {dv \over dr}2\pi rl+\eta 2\pi ld(r{dv \over dr})} (2)

Vì là dòng chảy tầng, chất lỏng trong hình xuyến trụ còn chịu tác dụng của lực sinh ra do chênh lệch áp suất ở 2 đầu ống:

F 3 = ( p 1 − p 2 ) d ( π r 2 ) = ( p 1 − p 2 ) 2 π r d ( r ) {\displaystyle F3=(p1-p2)d(\pi r^{2})=(p1-p2)2\pi rd(r)} (3)

Vì là dòng dừng, gia tốc của phần chất lỏng hình xuyến trụ trên bằng không, theo tiên đề 2 newton cho động lực học:

∑ i = 1 3 F i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}Fi=0} (4)

Từ (1)(2)(3) và (4):

η 2 π l d ( r d v d r ) + ( p 1 − p 2 ) 2 π r d r = 0 {\displaystyle \eta 2\pi ld(r{dv \over dr})+(p1-p2)2\pi rdr=0}

Tích phân 2 vế ta được:

∫ η 2 π l d ( r d v d r ) + ∫ ( p 1 − p 2 ) 2 π r d r = c o n s t {\displaystyle {\displaystyle \int \eta 2\pi ld(r{dv \over dr})+\int (p1-p2)2\pi rdr=const}}

2 η l r d v d r + ( p 1 − p 2 ) r 2 = c o n s t {\displaystyle {\displaystyle 2\eta lr{dv \over dr}+(p1-p2)r^{2}=const}}

Với r=0, ta có const=0

Phương trình trên được viết lại: 2 η l d v d r + ( p 1 − p 2 ) r = 0 {\displaystyle {\displaystyle 2\eta l{dv \over dr}+(p1-p2)r=0}}

− ∫ d v = ( p 1 − p 2 2 η l ) ∫ r d r {\displaystyle -\int dv=\left({\frac {p1-p2}{2\eta l}}\right)\int rdr}

=> Với điều kiện biên khi r=R thì v=0 ta được:

v ( r ) = 1 4 η p 1 − p 2 l ( R 2 − r 2 ) {\displaystyle v(r)={\frac {1}{4\eta }}{\frac {p1-p2}{l}}(R^{2}-r^{2})} (*)

Từ phương trình (*) ta tính lưu lượng toàn phần :

V ( t ) = ∫ 0 R v d ( π r 2 ) t = ∫ 0 R t v 2 π r d r = π 8 η p 1 − p 2 l R 4 t {\displaystyle V(t)=\int _{0}^{R}vd(\pi r^{2})t=\int _{0}^{R}tv2\pi rdr={\frac {\pi }{8\eta }}{\frac {p1-p2}{l}}R^{4}t}

Đây chính là phương trình Poiseuille cho dòng chất lỏng chảy qua một ống tiết diện tròn.